Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: 1) 5/√3; 2) 7/(√2 + 1); 3) 3/(√5 − √3); 4) 5/(√3 + √2 + √7).

Домножим числитель и знаменатель на подходящее сопряжённое выражение.

1. \(\dfrac{5}{\sqrt3}=\dfrac{5\sqrt3}{3}\).

2. \(\dfrac{7}{\sqrt2+1}=\dfrac{7(\sqrt2-1)}{(\sqrt2+1)(\sqrt2-1)}=7(\sqrt2-1)\).

3. \(\dfrac{3}{\sqrt5-\sqrt3}=\dfrac{3(\sqrt5+\sqrt3)}{5-3}=\dfrac{3(\sqrt5+\sqrt3)}{2}\).

4. Обозначим сумму в знаменателе через \(\sqrt7+\sqrt3+\sqrt2\). Сначала домножим на \(\sqrt7-\sqrt3-\sqrt2\), затем на \(1+\sqrt6\):

   \(\dfrac{5}{\sqrt7+\sqrt3+\sqrt2}=\dfrac{5(\sqrt7-\sqrt3-\sqrt2)(1+\sqrt6)}{(7-(\sqrt3+\sqrt2)^2)(1+\sqrt6)}\).

   Поскольку \((\sqrt3+\sqrt2)^2=5+2\sqrt6\), знаменатель равен \((2-2\sqrt6)(1+\sqrt6)=-10\). Поэтому результат равен \(\dfrac{(\sqrt3+\sqrt2-\sqrt7)(1+\sqrt6)}{2}\).