Изменить порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла. Область интегрирования изобразить на чертеже.

Данное выражение представляет собой сумму двух интегралов:

1. \[ \int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} f(x;y) dy \]
2. \[ \int_{1}^{\sqrt{2}} dx \int_{0}^{\sqrt{2-x^2}} f(x;y) dy \]

Первый интеграл соответствует области, ограниченной прямыми y=0, y=x, x=1. Второй интеграл соответствует области, ограниченной прямыми x=1, x=\sqrt{2}, y=0 и окружностью x^2 + y^2 = 2 (или y = \sqrt{2-x^2}).

Объединяя эти области, получаем область, ограниченную y=0, y=x и x^2 + y^2 = 2.

Чтобы изменить порядок интегрирования, рассмотрим эту область как область типа II. Границы по x будут от 0 до \sqrt{2}. Границы по y будут от 0 до x для первой части и от 0 до \sqrt{2-x^2} для второй части. При изменении порядка интегрирования, y будет изменяться от 0 до 1. Для y от 0 до 1, x будет изменяться от y до \sqrt{2-y^2}.

Таким образом, измененный интеграл будет:

\[ \int_{0}^{1} dy \int_{y}^{\sqrt{2-y^2}} f(x;y) dx \]