Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 2:3:4. Диагональ параллелепипеда равна √29. Найдите его объем.

Решение:

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны \( 2x \), \( 3x \) и \( 4x \) соответственно.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \), где \( a, b, c \) — измерения параллелепипеда.

По условию задачи, \( d = \sqrt{29} \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ \sqrt{29} = \sqrt{(2x)^2 + (3x)^2 + (4x)^2} \]

\[ \sqrt{29} = \sqrt{4x^2 + 9x^2 + 16x^2} \]

\[ \sqrt{29} = \sqrt{29x^2} \]

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ 29 = 29x^2 \]

\[ x^2 = \frac{29}{29} = 1 \]

Так как \( x \) — это длина, то \( x = 1 \).

Теперь найдём измерения параллелепипеда:

• \( a = 2x = 2 \cdot 1 = 2 \)
• \( b = 3x = 3 \cdot 1 = 3 \)
• \( c = 4x = 4 \cdot 1 = 4 \)

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \( V = a \cdot b \cdot c \).

\[ V = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \]

Ответ: Объём параллелепипеда равен 24.