Изображен параллелограмм с высотами 2 и 4 и основанием 6. Нужно найти длину гипотенузы прямоугольного треугольника.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой параллелограмма, боковой стороной и частью основания.

1. Найдем длину второго катета прямоугольного треугольника. Она равна разности между основанием параллелограмма и проекцией боковой стороны на основание параллелограмма.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный левой боковой стороной и высотой. По теореме Пифагора:

$$ a^2 = 2^2 + x^2 $$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный правой боковой стороной и высотой. По теореме Пифагора:

$$ a^2 = 4^2 + y^2 $$

Отсюда следует, что

$$ 2^2 + x^2 = 4^2 + y^2 $$ $$ x^2 - y^2 = 4^2 - 2^2 $$ $$ x^2 - y^2 = 16 - 4 $$ $$ x^2 - y^2 = 12 $$

Также известно, что

$$ x + y = 6 $$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 6 \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ (x + y)(x - y) = 12 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ 6(x - y) = 12 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x + y = 6 \\ x - y = 2 \end{cases} $$

Складываем два уравнения системы:

$$ 2x = 8 $$ $$ x = 4 $$

Подставляем значение x в первое уравнение:

$$ 4 + y = 6 $$ $$ y = 2 $$

3. Найдем гипотенузу (боковую сторону) из прямоугольного треугольника с высотой, равной 2 и проекцией, равной 4:

$$ a^2 = 2^2 + 4^2 $$ $$ a^2 = 4 + 16 $$ $$ a^2 = 20 $$ $$ a = \sqrt{20} $$ $$ a = 2\sqrt{5} $$

Ответ: $$2\sqrt{5}$$