3. Изобразите многогранник, вершинами которого являются середины ребер куба. Сколько вершин, ребер и граней получившейся фигуры? Найдите длину его ребра, если ребро куба равно 1см. 4. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, боковое ребро которой равно 5 см, если сторона основания составляет 6 см. 5. В правильной пирамиде боковое ребро равно 10 см, а сторона основания — 12 см. Найдите апофему пирамиды. 6. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно 15 см, а сторона основания — 18 см. 7. Найдите площадь полной поверхности прямой треугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, если высота призмы равна 10 см.

Задача 3:

Многогранник, вершинами которого являются середины ребер куба, — это октаэдр. У него 8 вершин, 12 ребер и 6 граней.

Если ребро куба равно 1 см, то длина ребра октаэдра равна половине диагонали грани куба. Диагональ грани куба можно найти по теореме Пифагора: \[d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

Длина ребра октаэдра: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] см.

Задача 4:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Периметр основания: \[P = 4 \cdot 6 = 24\] см.

Площадь боковой поверхности: \[S = 24 \cdot 5 = 120\] см².

Задача 5:

В правильной пирамиде апофема - это высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Апофему можно найти, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром пирамиды.

Половина стороны основания: \[ \frac{12}{2} = 6 \] см.

Апофема: \[a = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8\] см.

Задача 6:

Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Сначала найдем апофему, используя теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и боковым ребром пирамиды.

Половина стороны основания: \[ \frac{18}{2} = 9 \] см.

Апофема: \[a = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12\] см.

Периметр основания: \[P = 4 \cdot 18 = 72\] см.

Площадь боковой поверхности: \[S = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot 12 = 432\] см².

Задача 7:

Площадь полной поверхности прямой треугольной призмы равна сумме площадей боковой поверхности и двух оснований.

Площадь основания (прямоугольного треугольника): \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\] см².

Периметр основания: \[P = 5 + 12 + \sqrt{5^2 + 12^2} = 5 + 12 + 13 = 30\] см.

Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = 30 \cdot 10 = 300\] см².

Площадь полной поверхности: \[S_{полн} = 300 + 2 \cdot 30 = 300 + 60 = 360\] см².