515. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства: a) y - 2x > 2; б) x + y < -1. 516. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством: a) (x - 3)² + (y + 3)² ≤ 4; б) у ≤ x² - 5x + 6.

Решение задания 515

Давай решим задачу 515 по порядку. Нам нужно изобразить на координатной плоскости множество решений неравенств.

а) y - 2x > 2

Сначала выразим y:

\[y > 2x + 2\]

Строим прямую y = 2x + 2. Берем две точки, например, x = 0, y = 2 и x = -1, y = 0. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую. Так как неравенство строгое (y > 2x + 2), прямую рисуем пунктиром.

Теперь нужно определить, какую полуплоскость заштриховать. Возьмем точку, не лежащую на прямой, например, (0, 0). Подставим ее в неравенство:

\[0 > 2 \cdot 0 + 2 \Rightarrow 0 > 2\]

Это неверно, значит, штрихуем полуплоскость, не содержащую точку (0, 0), то есть ту часть плоскости, что выше прямой.

б) x + y < -1

Выразим y:

\[y < -x - 1\]

Строим прямую y = -x - 1. Возьмем две точки, например, x = 0, y = -1 и x = -1, y = 0. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую. Так как неравенство строгое (y < -x - 1), прямую рисуем пунктиром.

Возьмем точку (0, 0) и подставим её в неравенство:

\[0 < -0 - 1 \Rightarrow 0 < -1\]

Это неверно, значит, штрихуем полуплоскость, не содержащую точку (0, 0), то есть ту часть плоскости, что ниже прямой.

Решение задания 516

Теперь решим задачу 516. Нам нужно изобразить на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством.

а) (x - 3)² + (y + 3)² ≤ 4

Это неравенство задает круг с центром в точке (3, -3) и радиусом \(\sqrt{4} = 2\). Так как неравенство нестрогое, граница круга входит в решение. Рисуем круг сплошной линией. Штрихуем внутреннюю область круга, так как точки внутри круга удовлетворяют неравенству.

б) y ≤ x² - 5x + 6

Это неравенство задает область под параболой y = x² - 5x + 6.

Найдем вершину параболы: x_в = -b / 2a = 5 / 2 = 2.5

y_в = (2.5)² - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25

Вершина параболы (2.5, -0.25).

Найдем точки пересечения с осью x: x² - 5x + 6 = 0

D = (-5)² - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1

x_1 = (5 + 1) / 2 = 3

x_2 = (5 - 1) / 2 = 2

Точки пересечения с осью x: (2, 0) и (3, 0).

Строим параболу через эти точки и вершину. Так как неравенство нестрогое (y ≤ x² - 5x + 6), параболу рисуем сплошной линией. Штрихуем область под параболой, так как точки ниже параболы удовлетворяют неравенству.

Ответ: Задачи решены, построены соответствующие области на координатной плоскости.

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!