Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки B₁, D₁ и середину ребра CD. Докажите, что построенное сечение — трапеция.

Обозначим через M середину ребра CD, а через N — середину ребра BC. Тогда сечение проходит через точки B₁, N, M и D₁.

1. На грани ABCB₁ плоскость пересекает ребро BC в точке N: поскольку N — середина BC, точка N лежит в плоскости сечения.
2. На грани BCC₁B₁ сечение проходит по отрезку B₁N, а на грани ABCD — по отрезку NM. Точка M — середина CD по условию.
3. На грани CDD₁C₁ сечение проходит по отрезку MD₁, а на грани A₁B₁C₁D₁ — по отрезку D₁B₁. Следовательно, сечение — четырёхугольник B₁NMD₁.
4. Так как N и M — середины сторон BC и CD треугольника BCD, NM — средняя линия этого треугольника, поэтому NM ∥ BD. В параллелограмме ABCD диагональ BD не параллельна стороне B₁D₁ напрямую; используем координаты: зададим A=(0,0,0), B=(1,0,0), D=(0,1,0), A₁=(0,0,1). Тогда B₁=(1,0,1), D₁=(0,1,1), N=(1,0.5,0), M=(0.5,1,0). Получаем векторы B₁D₁=(-1,1,0) и NM=(-0.5,0.5,0), значит B₁D₁ ∥ NM.

Четырёхугольник B₁NMD₁ имеет пару параллельных противоположных сторон, следовательно, он является трапецией.