Изобразите сечение правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 1, проходящее через вершину A и середины рёбер BB₁ и CC₁. Найдите его площадь.

Обозначим середины рёбер BB₁ и CC₁ через M и N. Плоскость сечения пересекает нижнее основание по отрезку от A до пересечения сечения с ребром BC; это пересечение — середина BC, поскольку M и N находятся на одинаковой высоте и соответствуют вершинам B и C.

Следовательно, сечение — треугольник AMN? Нет: точки A, M и N задают плоскость, а её пересечение с основанием включает точку A и середину BC. Обозначим середину BC через P. Тогда сечение — четырёхугольник A–M–N–P.

В треугольнике ABC отрезок AP — медиана и высота, поэтому AP = √3/2. Поскольку M и N — середины вертикальных рёбер длины 1, высота сечения над основанием равна 1/2. Удобнее вычислить площадь четырёхугольника как площадь двух треугольников AMN и APN: в координатах A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1/2,√3/2,0), имеем M=(1,0,1/2), N=(1/2,√3/2,1/2), P=(3/4,√3/4,0) — но P не лежит в плоскости AMN. Исправим: плоскость через A, M, N пересекает BC в точке P=(2/3)B+(1/3)C? Для уравнения плоскости нормаль к AM и AN даёт пересечение с z=0 только в A; значит нижнее основание касается плоскости лишь по A. Сечение поэтому треугольник AMN.

Площадь треугольника AMN: векторы AM=(1,0,1/2), AN=(1/2,√3/2,1/2). Их векторное произведение имеет длину 1, поэтому площадь равна половине этой длины.

Ответ: площадь сечения равна 1/2.