698. Изобразив схематически графики уравнений, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: 3 y = x³, a) xy = -12; б) У y = x² + 1, y - x² + 12; в) ху=3.

Для решения задачи необходимо схематически изобразить графики уравнений и определить количество точек пересечения графиков, что соответствует количеству решений системы уравнений.

a) $$ \begin{cases} y = x^3 \\ xy = -12 \end{cases} $$ $$ y = \frac{-12}{x} $$ - уравнение гиперболы. $$ y = x^3 $$ - кубическая парабола.

Графики пересекаются в одной точке.

Ответ: 1 решение

б) $$ \begin{cases} y = x^2 + 8 \\ y = -x^2 + 12 \end{cases} $$

Оба уравнения параболы, ветви одной направлены вверх, другой вниз.

Найдем точки пересечения, приравняв правые части уравнений: $$ x^2 + 8 = -x^2 + 12 $$. Отсюда $$ 2x^2 = 4 $$, $$ x^2 = 2 $$, $$ x = \pm \sqrt{2} $$. Значит, графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения

в) $$ \begin{cases} y = x^2 + 1 \\ xy = 3 \end{cases} $$ $$ y = \frac{3}{x} $$ - уравнение гиперболы. $$ y = x^2 + 1 $$ - парабола, смещенная на 1 вверх по оси y.

Графики пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 решения