Изполните дадените стойности на ъглите, за да попълните празните места в доказателството за успоредност на отсечките AD и BE.

Решение:

За да докажем, че правите AD и BE са успоредни, можем да използваме признаците за успоредност на прави.

1. Уравнение на ъглите около точка C:

• Ъгъл ACB е изправен, т.е. 180°.
• Ъгъл ACB се състои от ъглите ζ, γ и η.
• Следователно, ζ + γ + η = 180°.
• От условието знаем, че γ = 67°.
• Тогава ζ + 67° + η = 180°.
• ζ + η = 180° - 67° = 113°.

2. Прилагане на теоремата за сбор на ъглите в триъгълниците:

• В триъгълник ADC: α + δ + ζ = 180°.
• В триъгълник BEC: β + ε + η = 180°.
• Събираме двете уравнения: (α + δ + ζ) + (β + ε + η) = 180° + 180°.
• α + β + δ + ε + ζ + η = 360°.
• Групираме членовете: (α + β) + (δ + ε) + (ζ + η) = 360°.
• Заместваме ζ + η = 113°: (α + β) + (δ + ε) + 113° = 360°.
• (α + β) + (δ + ε) = 360° - 113° = 247°.

3. Изразяване на сборовете на ъглите в триъгълниците:

• От триъгълник ADC: α = 180° - ζ - δ.
• От триъгълник BEC: β = 180° - η - ε.
• Събираме α и β:
• α + β = (180° - ζ - δ) + (180° - η - ε)
• α + β = 360° - (ζ + η) - (δ + ε)
• Заместваме ζ + η = 113°:
• α + β = 360° - 113° - (δ + ε)
• α + β = 247° - (δ + ε).
• От условието знаем δ = 38° и ε = 29°.
• δ + ε = 38° + 29° = 67°.
• α + β = 247° - 67° = 180°.

4. Доказателство за успоредност:

• За да бъдат правите AD и BE успоредни, сборът на прилежащите вътрешни ъгли трябва да е 180°.
• Разглеждаме ъглите при върховете A и B, които са α и β.
• α + β = 180°.
• Следователно, правите AD и BE са успоредни по признака за успоредност на прави, когато сборът на прилежащите вътрешни ъгли е 180°.

Попълнени празните места:

∠ACB = 180° ⇒ ζ + γ = 180° → ζ + η = 113°

α + β = (180°-ζ-δ) + (180°-η-ε) = 360° - (ζ + η) - (δ + ε) = 360° - 113° - 67° = 180°

Прави AD и BE са успоредни по : сбора на прилежащите вътрешни ъгли е 180°