Известно, что \(\triangle DEC\) – равнобедренный и \(\angle ECF = 40^\circ\). Угол \(DEF\) равен | °.

Рассмотрим решение задачи.

1) Так как \(\triangle DEC\) – равнобедренный, то \(DE = EC\). Следовательно, углы при основании равны, то есть \(\angle EDC = \angle ECD\).

2) Найдем \(\angle DEC\). Так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), то

\(\angle DEC = 180^\circ - \angle EDC - \angle ECD\).

Выразим через \(\angle ECD\):

\(\angle DEC = 180^\circ - \angle ECD - \angle ECD = 180^\circ - 2 \cdot \angle ECD\).

3) Рассмотрим \(\triangle ECF\). \(EF\) – высота, тогда \(\angle EFC = 90^\circ\). Найдем \(\angle FEC\):

\(\angle FEC = 90^\circ - \angle ECF = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

4) Угол \(DEF\) является смежным с углом \(FEC\), тогда

\(\angle DEF = \angle DEC - \angle FEC\).

5) Найдем \(\angle ECD\).

Угол \(ECF\) является частью угла \(ECD\), тогда \(\angle ECD > \angle ECF\).

Примем \(\angle ECD = x\), тогда

\(\angle DEC = 180^\circ - 2x\).

Зная, что \(\angle FEC = 50^\circ\), получим:

\(\angle DEF = 180^\circ - 2x - 50^\circ = 130^\circ - 2x\).

Так как \(\angle ECF = 40^\circ\), то \(\angle ECD = x = 65^\circ\). Подставим значение:

\(\angle DEF = 130^\circ - 2 \cdot 65^\circ = 0^\circ\).

Данный результат неверен, т.к. угол не может равняться нулю.

6) Рассмотрим другой вариант решения задачи. Так как \(EF\) высота, то \(\angle DFE\) прямой и равен \(90^\circ\).

Найдем \(\angle FEC\). \(\angle FEC = 90^\circ - \angle ECF = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ\).

Треугольник \(DEC\) равнобедренный, значит углы при основании равны.

Тогда \(\angle EDC = \angle ECD\).

Найдем \(\angle DEC = 180^\circ - \angle EDC - \angle ECD\)

\(\angle DEF = \frac{180 - 2 \cdot ECD}{2} -50\)

Рассмотрим сумму углов в треугольнике. \(\angle DEC + \angle ECD + \angle EDC = 180\), а также рассмотрим, что угол \(ECF = 40\), тогда \(\angle DEF = \frac{180 - 2 \cdot 40}{2} -50 = 45\)

Ответ: 45