Известно, что $a^2$, $b^2$, $a-b$ — рациональные числа, и $a\ne b$. Каким — рациональным или иррациональным — является сумма $a+b$?

Question

Известно, что $a^2$, $b^2$, $a-b$ — рациональные числа, и $a\ne b$. Каким — рациональным или иррациональным — является сумма $a+b$?

$Фото задания: Известно, что $a^2$, $b^2$, $a-b$ — рациональные числа, и $a\ne b$. Каким — рациональным или иррациональным —…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем тождество разности квадратов:

\[(a+b)(a-b)=a^2-b^2.\]

По условию $a^2$ и $b^2$ — рациональные числа, значит, $a^2-b^2$ — рациональное число. Также $a-b$ — рациональное число и $a-b\ne0$, так как $a\ne b$.

Следовательно, можно разделить:

\[a+b=\frac{a^2-b^2}{a-b}.\]

Частное двух рациональных чисел, знаменатель которого не равен нулю, является рациональным числом.

Ответ: сумма $a+b$ рациональна.

Известно, что \(a^2\), \(b^2\), \(a-b\) — рациональные числа, и \(a\ne b\). Каким — рациональным или иррациональным — является сумма \(a+b\)?

Ответ: