Известно, что a, b, c и d — попарно различные двузначные (положительные) числа. а) Может ли выполняться равенство \(\frac{3a+2c}{b+d}=\frac{12}{19}\)? б) Может ли дробь \(\frac{3a+2c}{b+d}\) быть в 11 раз меньше, чем сумма \(\frac{3a}{b}+\frac{2c}{d}\)? в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \(\frac{3a+2c}{b+d}\), если \(a>3b\) и \(c>2d\)?

1. Да. Например, возьмём \(a=10\), \(b=50\), \(c=21\), \(d=64\). Эти числа попарно различны и двузначны.

   Тогда \(\frac{3a+2c}{b+d}=\frac{3\cdot10+2\cdot21}{50+64}=\frac{72}{114}=\frac{12}{19}\).

2. Нет. Поскольку числа положительны, сравним сумму \(\frac{3a}{b}+\frac{2c}{d}\) с дробью \(\frac{3a+2c}{b+d}\):

   \(\frac{3a}{b}+\frac{2c}{d}=\frac{3a(b+d)+2c(b+d)}{b d}\), а удобнее заметить, что отношение суммы к дроби равно \(\frac{3a/b+2c/d}{(3a+2c)/(b+d)}\). Это взвешенное среднее чисел \(\frac{b+d}{b}\) и \(\frac{b+d}{d}\) с положительными весами \(3a\) и \(2c\).

   Для двузначных положительных \(b,d\) имеем \(\frac{b+d}{b}=1+\frac db\le 1+\frac{99}{10}=10.9\), и аналогично \(\frac{b+d}{d}\le10.9\). Поэтому отношение суммы к дроби меньше 11; следовательно, сумма не может быть в 11 раз больше дроби.

3. Из условий \(a>3b\) и \(c>2d\), учитывая целочисленность, получаем \(a\ge3b+1\) и \(c\ge2d+1\). Значит,

   \(\frac{3a+2c}{b+d}\ge\frac{9b+4d+5}{b+d}=4+\frac{5b+5}{b+d}\).

   Так как \(b\ge10\) и \(d\le49\), то \(\frac{5b+5}{b+d}\ge\frac{55}{59}\): это выражение возрастает с ростом \(b\) и убывает с ростом \(d\). Поэтому дробь не меньше \(4+\frac{55}{59}=\frac{291}{59}\).

   Равенство достигается при \(b=10\), \(a=31\), \(d=49\), \(c=99\): все четыре числа попарно различны, \(31>3\cdot10\), \(99>2\cdot49\), а \(\frac{3\cdot31+2\cdot99}{10+49}=\frac{291}{59}\).

Ответ: а) да; б) нет; в) \(\frac{291}{59}\).