Известно, что АВ || CD, AM = CK, ∠AMB = ∠CKD (рис. 270). Докажите, что BC || AD.

Решение:

Давай внимательно рассмотрим рисунок и условия задачи. Нам дано, что AB || CD, AM = CK и ∠AMB = ∠CKD. Наша задача – доказать, что BC || AD.

Сначала докажем равенство треугольников AMB и CKD:

1. AM = CK (по условию).
2. ∠AMB = ∠CKD (по условию).
3. Так как AB || CD, то углы между секущей и параллельными прямыми равны. Следовательно, ∠BAM = ∠DCK как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Таким образом, ΔAMB = ΔCKD по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что AB = CD.

Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. У нас есть, что AB = CD и AB || CD. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Следовательно, ABCD – параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, BC || AD.

Ответ: BC || AD