2. Известно, что АВ = AD и ВС = DC (рис. 45). Докажите, что ВО = DO.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). Дано, что \(AB = AD\) и \(BC = DC\), сторона AC — общая.

По третьему признаку равенства треугольников, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) по третьему признаку равенства треугольников. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle BAC = \angle DAC\) и \(\angle BCA = \angle DCA\).

Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle ADO\):

• \(AB = AD\) (дано)
• \(\angle BAO = \angle DAO\) (так как \(\angle BAC = \angle DAC\))
• AO — общая сторона

Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle ADO\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BO = DO.

Ответ: BO = DO, доказано.