5. Известно, что BC || AD, BF = = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что AB || CD.

Дано: (BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB) Доказать: (AB || CD) Доказательство: 1. (BF = DE), следовательно, (BF + FE = DE + FE), а значит, (BE = DF). 2. (∠AED = ∠CFB), следовательно, (∠AEB = ∠CFD) (так как они смежные с равными углами). 3. Рассмотрим треугольники (ABE) и (CDF). У них (BE = DF), (∠AEB = ∠CFD). 4. Так как (BC || AD), то (∠EBC = ∠FDA) как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых (BC) и (AD) и секущей (BD). Следовательно, (∠ABE = ∠CDF). 5. Значит, треугольники (ABE) и (CDF) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, (AE = CF) и (AB = CD). 6. Так как треугольники (ABE) и (CDF) равны, то (∠BAE = ∠DCF). 7. (∠BAE) и (∠DCF) являются внутренними накрест лежащими углами при прямых (AB) и (CD) и секущей (AC). Следовательно, (AB || CD). Что и требовалось доказать.