5." Известно, что BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что АВ || CD.

Решение:

Давай внимательно рассмотрим четырехугольник ABCD. Нам дано, что BC параллельна AD, BF = DE и ∠AED = ∠CFB. Наша задача доказать, что AB параллельна CD.

1. Рассмотрим треугольники ΔAED и ΔCFB. Мы знаем, что BF = DE. Теперь рассмотрим AE и CF. Поскольку BF = DE, то BE = DF (так как BE = BD - DE, DF = BD - BF, и BD - общая сторона). Это означает, что треугольники ΔABE и ΔCDF имеют две соответствующие стороны равными.

2. У нас есть ∠AED = ∠CFB. Это означает, что ∠AEB = ∠CFD (поскольку ∠AEB и ∠AED - смежные углы, как и ∠CFD и ∠CFB). Теперь у нас есть два треугольника ΔABE и ΔCDF, где AE = CF, BE = DF и ∠AEB = ∠CFD. По двум сторонам и углу между ними (САС), ΔABE ≅ ΔCDF.

3. Из конгруэнтности ΔABE и ΔCDF, у нас есть ∠BAE = ∠DCF и ∠ABE = ∠CDF. Это означает, что углы при основаниях AD и BC равны. Если углы ∠BAE и ∠DCF равны, а также ∠ABE и ∠CDF равны, то ABCD - параллелограмм.

4. В параллелограмме противоположные стороны параллельны. Так как BC параллельна AD (дано), а ABCD - параллелограмм, то AB параллельна CD. Что и требовалось доказать.

Ответ: AB || CD

Отлично! Ты справился с доказательством. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!