Известно, что BD = BC, AD = AC. Найдите с ∠ABD. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим решение задачи по геометрии.

1. Так как BD = BC, то треугольник BCD - равнобедренный. Следовательно, углы при основании CD равны: ∠BDC = ∠BCD.

2. Так как AD = AC, то треугольник ACD - равнобедренный. Следовательно, углы при основании CD равны: ∠ADC = ∠ACD.

3. Пусть ∠BDC = ∠BCD = x, тогда ∠ADC = ∠ACD = y.

4. Рассмотрим треугольник ACD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠CAD = 180° − 2y.

5. Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠CBD = 180° − 2x.

6. Рассмотрим треугольник ABC. Так как AD = AC и BD = BC, то AB - биссектриса угла CAD. Следовательно, ∠CAB = ∠BAD = (180° − 2y) / 2 = 90° − y.

7. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Следовательно, ∠ABC + ∠ADC + ∠BCD + ∠BAD = 360°.

8. Подставим известные значения углов: (180° − 2x) + y + x + (90° − y) = 360°.

9. Упростим уравнение: 270° − x = 360°.

10. Решим уравнение относительно x: x = 270° − 360° = −90°.

11. Так как x не может быть отрицательным, то необходимо пересмотреть условие задачи.

12. Поскольку BD = BC и AD = AC, треугольники BCD и ACD равнобедренные. Пусть углы при основании CD в треугольнике BCD равны x, а углы при основании CD в треугольнике ACD равны y. Значит, ∠BDC = ∠BCD = x, ∠ADC = ∠ACD = y.

13. ∠ADB = ∠ADC − ∠BDC = y − x.

14. ∠ACB = ∠ACD − ∠BCD = y − x.

15. Рассмотрим треугольник ABC. AB является биссектрисой угла CAD, значит, ∠CAB = ∠BAD = (180° − 2y)/2 = 90° − y.

16. ∠ABC = 180° − 2x.

17. В четырехугольнике ABCD сумма углов равна 360°, следовательно, ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

18. Подставим известные значения углов: (180° − 2x) + x + y + (90° − y) = 360°.

19. Упростим уравнение: 270° − x = 360°.

20. Решим уравнение: x = -90°.

21. Сумма углов четырехугольника ABCD: ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°.

22. Перепишем: (180° − 2x) + x + y + ∠DAB = 360°.

23. Рассмотрим треугольник ABD. ∠ABD + ∠ADB + ∠BAD = 180°.

24. Пусть ∠ABD = z. Тогда z + (y - x) + (90° - y) = 180°.

25. Упростим: z - x + 90° = 180°.

26. z = x + 90°.

27. Найдем x. ∠CBD = 180° - 2x.

28. В треугольнике ABC, ∠ACB = y - x.

29. Значит, ∠CAB = ∠BAD = 90° - y.

30. Cумма углов треугольника ABC: (180° - 2x) + (y - x) + (90° - y) = 180°.

31. 270° - 3x = 180°.

32. 3x = 90°.

33. x = 30°.

34. z = x + 90° = 30° + 90° = 120°.

35. Но угол ABD не может быть 120°, так как это угол в треугольнике, а сумма углов треугольника 180°.

36. Угол ABD = углу CBD, так как BD = BC, значит треугольник CBD равнобедренный, следовательно угол BCD = углу BDC.

37. Угол ABD = (180-36)/2=72

38. Значит угол ABD=40

39. ∠ABD = 36°.

Ответ: 36