Известно, что биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке F, так что AF:FD = 8:5. Найдите периметр параллелограмма, если CD = 26 см.

Решение:

Пусть \( AF = 8x \) и \( FD = 5x \). Тогда \( AD = AF + FD = 8x + 5x = 13x \).

Так как ABCD — параллелограмм, то \( BC = AD = 13x \) и \( AB = CD = 26 \) см.

Биссектриса угла C делит параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит \( BC \parallel AD \).

Так как CF — биссектриса угла C, то \( \angle BCF = \angle DCF \).

Так как \( BC \parallel AD \), то \( \angle BCF = \angle CFA \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей CF.

Из равенства \( \angle DCF = \angle CFA \) следует, что треугольник CDF — равнобедренный с основанием CF.

Значит, \( CD = FD \).

По условию \( CD = 26 \) см. Следовательно, \( FD = 26 \) см.

Так как \( FD = 5x \), то \( 5x = 26 \) см, откуда \( x = \frac{26}{5} = 5.2 \) см.

Теперь найдем длину стороны AD:

\( AD = 13x = 13 \cdot 5.2 = 67.6 \) см.

Периметр параллелограмма ABCD находится по формуле \( P = 2(AB + AD) \).

\( P = 2(26 + 67.6) = 2(93.6) = 187.2 \) см.

Ответ: 187.2 см.