133. Известно, что ДАВС ДА,В,С₁, причём стороне АВ со- ответствует сторона А1В1, а стороне ВС — сторона В1С1 (рис. 21). Найдите неизвестные стороны этих треуголь- ников (размеры сторон даны в сантиметрах).

Решение:

Для решения задачи о подобных треугольниках необходимо воспользоваться свойством пропорциональности соответствующих сторон подобных треугольников.

Рассмотрим первый случай:

      B
     / \
    /   \
 12/     \ a
  /       \
 A --------- C
     b

      B₁
     / \
    /   \
 6 /     \ 8
  /       \
A₁---------C₁
      9

Дано: \(AB = 12\), \(A_1B_1 = 6\), \(B_1C_1 = 8\), \(A_1C_1 = 9\). Найти \(BC\) и \(AC\).

Так как \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), то \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).

Подставим известные значения: \(\frac{12}{6} = \frac{BC}{8} = \frac{AC}{9}\).

Из пропорции \(\frac{12}{6} = \frac{BC}{8}\) найдем \(BC\):

\[BC = \frac{12 \times 8}{6} = \frac{96}{6} = 16 \text{ см}.\]

Из пропорции \(\frac{12}{6} = \frac{AC}{9}\) найдем \(AC\):

\[AC = \frac{12 \times 9}{6} = \frac{108}{6} = 18 \text{ см}.\]

Рассмотрим второй случай:

      B
     / \
    /   \
 6 /     \ a
  /       \
 A --------- C
     12

      B₁
     / \
    /   \
 b /     \ 6
  /       \
A₁---------C₁
      8

Дано: \(AB = 6\), \(AC = 12\), \(B_1C_1 = 6\), \(A_1C_1 = 8\). Найти \(BC\) и \(A_1B_1\).

Так как \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), то \(\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\).

Подставим известные значения: \(\frac{6}{A_1B_1} = \frac{BC}{6} = \frac{12}{8}\).

Из пропорции \(\frac{6}{A_1B_1} = \frac{12}{8}\) найдем \(A_1B_1\):

\[A_1B_1 = \frac{6 \times 8}{12} = \frac{48}{12} = 4 \text{ см}.\]

Из пропорции \(\frac{BC}{6} = \frac{12}{8}\) найдем \(BC\):

\[BC = \frac{6 \times 12}{8} = \frac{72}{8} = 9 \text{ см}.\]

Ответ: В первом случае \(BC = 16 \text{ см}\), \(AC = 18 \text{ см}\); во втором случае \(A_1B_1 = 4 \text{ см}\), \(BC = 9 \text{ см}\).