Известно, что DO = CO, AO = BO, M — середина отрезка AB. Докажите, что MC = MD.

Так как точки A, O, D лежат на одной прямой и AO = BO, DO = CO, то в данном рисунке O — середина отрезков AD и CB: OA = OD и OC = OB.

Обозначим общую длину этих отрезков через r. Тогда AO = BO = CO = DO = r. Пусть угол между лучами OA и OC равен α. Поскольку OA и OD — противоположные лучи, а OC и OB — противоположные лучи, угол между OA и OB равен 180° − α.

По теореме косинусов в треугольниках AOC и AOB:

MC не является стороной этих треугольников, поэтому применим теорему косинусов непосредственно к треугольникам AMC и BMD. Из условия M — середина AB, значит AM = MB. Кроме того, из равенства AO = BO и CO = DO следует AC = BD: треугольники AOC и BOD равны по двум сторонам и углу между ними (вертикальные углы при пересечении прямых AD и CB).

В треугольниках AMC и BMD основания AM и MB равны, а стороны AC и BD равны. Углы CAM и DBM равны, поскольку они образованы прямыми AB и AC, а также AB и BD; равенство следует из равенства треугольников AOC и BOD. Следовательно, треугольники AMC и BMD равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому MC = MD.

Ответ: MC = MD.