4. Известно, что ЕК = FK и ЕС = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK =∠FMK.

Разбираемся:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольники ЕКС и FKC.
   • ЕК = FK (по условию)
   • ЕС = FC (по условию)
   • КС - общая сторона

   Следовательно, треугольники ЕКС и FKC равны по трем сторонам.

2. Шаг 2: Из равенства треугольников ЕКС и FKC следует равенство углов ∠EKC = ∠FKC.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольники EMK и FMK.
   • ЕК = FK (по условию)
   • ∠EKC = ∠FKC (доказано выше)
   • МК - общая сторона

   Заметим, что углы ∠EKM и ∠FKM являются смежными с углами ∠EKC и ∠FKC соответственно. Поскольку смежные углы равны, то и ∠EKM = ∠FKM.

4. Шаг 4: Таким образом, треугольники EMK и FMK равны по двум сторонам и углу между ними.
   • ЕК = FK
   • ∠EKM = ∠FKM
   • МК - общая сторона

   Следовательно, треугольники EMK и FMK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Шаг 5: Из равенства треугольников EMK и FMK следует равенство углов ∠EMK = ∠FMK, что и требовалось доказать.