Известно, что EK = FK и EC = FC (рис. 43). Докажите, что ∠EMK = ∠FMK.

Рассмотрим треугольники ЕКС и ФКС.

1. По условию ЕК = FK.
2. Отрезок KC — общий.
3. По условию EC = FC.

Следовательно, треугольники ЕКС и ФКС равны по трём сторонам. Поэтому ∠EKC = ∠FKC.

Эти углы смежные, так как точки E, K, F лежат на одной прямой. Равные смежные углы являются прямыми, значит, KC ⟂ EF.

Так как точки M, K, C лежат на одной прямой, то MK ⟂ EF. Следовательно, ∠EKM = ∠FKM = 90°.

Рассмотрим треугольники EMK и FMK:

• EK = FK по условию;
• MK — общая сторона;
• ∠EKM = ∠FKM.

Треугольники EMK и FMK равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы равны:

∠EMK = ∠FMK.