Известно, что квадрат клетчатой бумаги 8 х 8 покрыли несколькими плитками 2 х 2 и несколькими полосками 1 х 4. Можно ли будет покрыть квадрат 8 х 8, если одну квадратную плитку заменить прямоугольной полоской? Да, у меня получилось. Да, так как клеток в этих фигурах по 4. Нет, у меня не получилось. Нет, и я могу доказать это при помощи раскраски.

Рассмотрим задачу, можно ли покрыть квадрат 8 х 8, если одну плитку 2 х 2 заменить полоской 1 х 4.

Заметим, что площадь квадрата 8 х 8 равна 64 клеткам.

Площадь плитки 2 х 2 равна 4 клеткам. Площадь полоски 1 х 4 тоже равна 4 клеткам.

Если мы заменим одну плитку 2 х 2 полоской 1 х 4, то общая площадь покрытия не изменится и останется равной 64 клеткам.

Однако, чтобы доказать, что такое покрытие невозможно, можно использовать раскраску. Раскрасим квадрат 8 х 8 в шахматном порядке. Тогда будет 32 белых и 32 черных клетки.

Каждая плитка 2 х 2 покрывает ровно 2 белых и 2 черных клетки, независимо от её расположения.

Но полоска 1 х 4 может покрывать 4 белых или 4 черных клетки, либо 2 белых и 2 черных клетки.

Если полоска 1 х 4 покрывает 4 белых или 4 черных клетки, то количество белых и черных клеток, покрытых оставшимися плитками 2 х 2, не будет равным. Следовательно, нельзя покрыть квадрат 8 х 8, заменив одну плитку 2 х 2 полоской 1 х 4.

Следовательно, можно выбрать ответ: Нет, и я могу доказать это при помощи раскраски.

Ответ: Нет, и я могу доказать это при помощи раскраски.