Известно, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность и что продол- жения сторон АB и CD четырехугольника пере- секаются в точке М. Докажите, что треугольни- ки МВС И MDA подобны.

Давай подробно разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно доказать подобие треугольников \( MBC \) и \( MDA \). Вот как это можно сделать:

1. Условие задачи

   Четырехугольник \( ABCD \) вписан в окружность, и прямые \( AB \) и \( CD \) пересекаются в точке \( M \).

2. Что нужно доказать

   Треугольники \( MBC \) и \( MDA \) подобны.

3. Доказательство

   • Угол \( \angle MBC \) и угол \( \angle ADC \) являются смежными с углами вписанного четырехугольника \( ABCD \). Следовательно, \( \angle MBC = 180^\circ - \angle ABC \). Так как четырехугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна \( 180^\circ \), то есть \( \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \). Отсюда следует, что \( \angle MBC = \angle ADC \).

   • Углы \( \angle BMD \) и \( \angle CMB \) – один и тот же угол, то есть \( \angle M \) – общий угол для обоих треугольников.

   • Таким образом, в треугольниках \( MBC \) и \( MDA \) имеем: \( \angle MBC = \angle ADC \) и \( \angle M \) – общий. Следовательно, треугольники \( MBC \) и \( MDA \) подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Ответ: Треугольники \( MBC \) и \( MDA \) подобны.

Молодец! Ты отлично справился с задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!