Известно, что периметр фигуры, изображённой на рисунке, равен 340. Стороны фигуры обозначены через а и b. Запишите формулу периметра этой фигуры. Найдите наименьшее значение b, при котором а и b будут натуральными, и соответствующее ему значение а.

Решение:

Сначала запишем формулу для периметра фигуры. Периметр - это сумма длин всех сторон. В данной фигуре есть 4 стороны длиной \( a \) и 8 сторон длиной \( b \).

Формула периметра:

\[ P = 4a + 8b \]

Нам известно, что периметр фигуры равен 340. Подставим это значение в формулу:

\[ 340 = 4a + 8b \]

Теперь нам нужно найти наименьшее значение \( b \), при котором \( a \) и \( b \) будут натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Разделим всё уравнение на 4, чтобы упростить его:

\[ \frac{340}{4} = \frac{4a}{4} + \frac{8b}{4} \]

\[ 85 = a + 2b \]

Выразим \( a \) через \( b \):

\[ a = 85 - 2b \]

Чтобы \( a \) было натуральным числом, оно должно быть больше 0. То есть:

\[ 85 - 2b > 0 \]

\[ 85 > 2b \]

\[ b < \frac{85}{2} \]

\[ b < 42.5 \]

Поскольку \( b \) должно быть натуральным числом, наименьшее возможное значение \( b \) — это 1. Проверим, получится ли \( a \) натуральным числом при \( b=1 \):

\[ a = 85 - 2 \cdot 1 = 85 - 2 = 83 \]

Так как \( a=83 \) и \( b=1 \) являются натуральными числами, и \( b=1 \) — это наименьшее натуральное число, то наименьшее значение \( b \) равно 1.

Соответствующее ему значение \( a \) равно 83.

Ответ: Формула периметра: \( P = 4a + 8b \). Наименьшее значение \( b \) равно 1, соответствующее ему значение \( a \) равно 83.