Известно, что при небольших напряжениях, приложенных к мембране (U < 200-300 мВ), она ведёт себя как резистор и подчиняется закону Ома. При напряжениях свыше 200-300 мВ мембрана перестаёт подчиняться закону Ома: при увеличении напряжения ток резко возрастает, и мембрана разрушается. 1) Рассчитайте сопротивление мембраны исходя из следующих оценок её параметров: средняя толщина мембраны составляет 8·10⁻⁹ м; удельное сопротивление мембраны равно 10⁷ Ом·м; площадь поверхности мембраны примерно равна 3,2·10⁻¹² м². 2) Рассчитайте силу тока, проходящего через стенку мембраны, к которой приложено напряжение 80 мВ. Ответ выразите в пикоамперах (1 пА = 10⁻¹² A). 3) При растяжении мембраны под действием осмотического давления происходит увеличение площади её поверхности. Мембрана при этом становится тоньше. Во сколько раз изменится сила тока, текущего через мембрану, если площадь поверхности мембраны увеличится на 5 %? Считайте, что объём мембраны и приложенное к ней напряжение остаются неизменными.

1) Расчет сопротивления мембраны

• Сопротивление мембраны рассчитывается по формуле: \[R = \rho \frac{l}{A}\] где:
  • \(R\) - сопротивление,
  • \(\rho\) - удельное сопротивление (\(10^7 \) Ом·м),
  • \(l\) - толщина мембраны (\(8 \cdot 10^{-9}\) м),
  • \(A\) - площадь мембраны (\(3.2 \cdot 10^{-12}\) м²).
• Подставляем значения: \[R = 10^7 \frac{8 \cdot 10^{-9}}{3.2 \cdot 10^{-12}} = \frac{10^7 \cdot 8 \cdot 10^{-9}}{3.2 \cdot 10^{-12}} = \frac{8 \cdot 10^{-2}}{3.2 \cdot 10^{-12}} = 2.5 \cdot 10^{11} \text{ Ом}\]

2) Расчет силы тока

• Сила тока рассчитывается по закону Ома: \[I = \frac{U}{R}\] где:
  • \(I\) - сила тока,
  • \(U\) - напряжение (80 мВ = \(80 \cdot 10^{-3}\) В),
  • \(R\) - сопротивление (\(2.5 \cdot 10^{11}\) Ом).
• Подставляем значения: \[I = \frac{80 \cdot 10^{-3}}{2.5 \cdot 10^{11}} = 32 \cdot 10^{-14} \text{ A} = 0.32 \cdot 10^{-12} \text{ A} = 0.32 \text{ пА}\]

3) Изменение силы тока при растяжении

• Объем мембраны остается неизменным, поэтому: \[V = A \cdot l = \text{const}\]
• Если площадь увеличивается на 5%, то новая площадь: \[A' = 1.05A\]
• Толщина уменьшается, чтобы объем оставался постоянным: \[l' = \frac{l}{1.05}\]
• Новое сопротивление: \[R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{l}{1.05} \cdot \frac{1}{1.05A} = \frac{R}{1.05^2}\]
• Новая сила тока: \[I' = \frac{U}{R'} = \frac{U}{\frac{R}{1.05^2}} = 1.05^2 \frac{U}{R} = 1.05^2 I = 1.1025 I\]
• Сила тока увеличится в 1.1025 раза, то есть на 10.25%.

Ответ: 1) 2.5·10¹¹ Ом; 2) 0.32 пА; 3) увеличится на 10.25%