Известно, что sin γ = 5/13, γ — острый угол. Найдите cos γ, tg γ, ctg γ.

Решение:

По основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \gamma + \cos^2 \gamma = 1 \), найдём \( \cos \gamma \).

1. \( \cos^2 \gamma = 1 - \sin^2 \gamma \)
2. \( \cos^2 \gamma = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \)
3. Так как \( \gamma \) — острый угол, \( \cos \gamma > 0 \).
4. \( \cos \gamma = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \)

Теперь найдём \( \operatorname{tg} \gamma \) и \( \operatorname{ctg} \gamma \).

1. \( \operatorname{tg} \gamma = \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = \frac{5}{12} \)
2. \( \operatorname{ctg} \gamma = \frac{1}{\operatorname{tg} \gamma} = \frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5} \)

Установим соответствия:

Ответ: cos γ = 12/13, tg γ = 5/12, ctg γ = 12/5.