Известно, что сумму квадратов последовательных натуральных чисел от 1 до n можно рассчитать по формуле S = 1/6 * (2n + 1)(n^2 + n). Пользуясь этой формулой, найди 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + 20^2.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по шагам.

Нам дана формула для суммы квадратов чисел от 1 до n:

\[ S_n = \frac{1}{6} (2n + 1)(n^2 + n) \]

А найти нужно сумму квадратов чисел от 2 до 20:

\[ 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + 20^2 \]

Заметим, что наша формула считает сумму, начиная с 1. А нам нужно с 2. Как это можно исправить?

Можно найти сумму квадратов от 1 до 20, а потом вычесть квадрат числа 1 (то есть 1^2), которого в нашей сумме нет.

Итак, сначала найдем сумму квадратов от 1 до 20. Для этого в формуле берем n = 20.

\[ S_{20} = \frac{1}{6} (2 \times 20 + 1)(20^2 + 20) \]

Посчитаем по частям:

1. (2 * 20 + 1) = 40 + 1 = 41
2. (20^2 + 20) = 400 + 20 = 420

Теперь подставим это обратно в формулу:

\[ S_{20} = \frac{1}{6} \times 41 \times 420 \]

Упростим: 420 делится на 6. 420 / 6 = 70.

\[ S_{20} = 41 \times 70 \]

\[ S_{20} = 2870 \]

Это сумма квадратов от 1^2 до 20^2. Но нам нужна сумма от 2^2 до 20^2. Поэтому нужно вычесть 1^2, которое равно 1.

\[ 2^2 + 3^2 + \dots + 20^2 = S_{20} - 1^2 \]

\[ 2^2 + 3^2 + \dots + 20^2 = 2870 - 1 \]

\[ 2^2 + 3^2 + \dots + 20^2 = 2869 \]

Ответ: 2869