Известно, что точки A, B, C и D — вершины прямоугольника. Дано: A(0; 0); B(0;1); C(8; 1). Определи координаты четвёртой вершины D: D( ; ).

Решение:

Для того чтобы найти координаты четвёртой вершины прямоугольника, можно использовать свойства векторов. В прямоугольнике векторы противоположных сторон равны.

1. Вектор AB: \( B - A = (0 - 0; 1 - 0) = (0; 1) \).
2. Вектор DC: \( C - D = (8 - x; 1 - y) \).
3. Поскольку \( AB = DC \), то \( 0 = 8 - x \) и \( 1 = 1 - y \).
4. Из \( 0 = 8 - x \) следует, что \( x = 8 \).
5. Из \( 1 = 1 - y \) следует, что \( y = 0 \).
6. Таким образом, координаты вершины D равны (8; 0).

Альтернативный метод:

1. В прямоугольнике диагонали делятся пополам, то есть точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них.
2. Найдем середину диагонали AC: \( M_{AC} = \left( \frac{0 + 8}{2}; \frac{0 + 1}{2} \right) = \left( 4; \frac{1}{2} \right) \).
3. Середина диагонали BD должна совпадать с M: \( M_{BD} = \left( \frac{0 + x}{2}; \frac{1 + y}{2} \right) \).
4. Приравниваем координаты: \( \frac{0 + x}{2} = 4 \) и \( \frac{1 + y}{2} = \frac{1}{2} \).
5. Решаем уравнения: \( x = 8 \) и \( 1 + y = 1 \), что даёт \( y = 0 \).
6. Координаты вершины D равны (8; 0).

Ответ: D(8; 0).