Известно, что точки А, В, С и D – вершины прямоугольника. Дано: А(0; 0); С(8; 1); D(8; 0). Определи координаты четвёртой вершины В:

Решение:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны, а диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Для нахождения координат четвёртой вершины можно использовать свойство диагоналей или векторный подход.

Метод 1: Через середину диагонали.

Пусть координаты вершины B будут \( (x_B, y_B) \). Диагонали прямоугольника AC и BD пересекаются в точке M, которая является серединой обеих диагоналей. Найдем координаты середины диагонали AC:

\( x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + 8}{2} = 4 \)

\( y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + 1}{2} = 0.5 \)

Теперь используем тот факт, что M также является серединой диагонали BD:

\( x_M = \frac{x_B + x_D}{2} \) => \( 4 = \frac{x_B + 8}{2} \) => \( 8 = x_B + 8 \) => \( x_B = 0 \)

\( y_M = \frac{y_B + y_D}{2} \) => \( 0.5 = \frac{y_B + 0}{2} \) => \( 1 = y_B \)

Таким образом, координаты вершины B: \( (0, 1) \).

Метод 2: Векторный подход.

В прямоугольнике векторы противоположных сторон равны: \( \vec{AB} = \vec{DC} \) и \( \vec{AD} = \vec{BC} \). Также \( \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \) (если A - начало координат). Однако, в данном случае векторы, исходящие из одной вершины, будут \( \vec{AD} \) и \( \vec{AB} \) (или \( \vec{AD} \) и \( \vec{AC} \) - это диагональ, что не подходит). Возьмем векторы, связанные с вершинами.

У нас есть точки A(0; 0), C(8; 1), D(8; 0). Вершины прямоугольника расположены в следующем порядке: A, B, C, D (или A, D, C, B, но по координатам A(0;0) и D(8;0) они лежат на оси X, а C(8;1) - выше, значит порядок A, D, C, B или A, B, C, D. Проверим параллельность.

Если порядок A, B, C, D, то \( \vec{AB} = \vec{DC} \).

\( \vec{DC} = (x_C - x_D, y_C - y_D) = (8 - 8, 1 - 0) = (0, 1) \)

Пусть \( B = (x_B, y_B) \). Тогда \( \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (x_B - 0, y_B - 0) = (x_B, y_B) \).

Приравнивая векторы: \( (x_B, y_B) = (0, 1) \), значит \( x_B = 0 \) и \( y_B = 1 \).

Координаты вершины B: \( (0, 1) \).

Проверка:

A(0;0), B(0;1), C(8;1), D(8;0).

Сторона AB: длина \( |1-0| = 1 \), лежит на оси Y.

Сторона AD: длина \( |8-0| = 8 \), лежит на оси X.

Сторона BC: длина \( |8-0| = 8 \), параллельна оси X.

Сторона DC: длина \( |1-0| = 1 \), параллельна оси Y.

\( AB ⊥ AD \) (угол 90 градусов, так как лежат на осях).

\( BC ⊥ AB \) (параллельны оси X и оси Y).

\( BC ⊥ DC \).

\( AD ⊥ DC \).

Расстояния между противоположными точками совпадают: \( AB = DC = 1 \), \( AD = BC = 8 \).

Диагональ AC: \( | AC | = | (8-0; 1-0) | = | (8,1) | = | 8^2 + 1^2 | = | 64+1 | = | 65 | \)

Диагональ BD: \( | BD | = | (8-0; 0-1) | = | (8,-1) | = | 8^2 + (-1)^2 | = | 64+1 | = | 65 | \)

Диагонали равны.

Координаты четвёртой вершины B: \( (0; 1) \).