Известно, что точки А, В, С и D – вершины прямоугольника. Дано: А(0; 0); В(0; 3); C(7; 3). Определи координаты четвёртой вершины D:

Решение:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Также диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам.

Координаты точек A, B, C: A(0; 0), B(0; 3), C(7; 3).

Рассмотрим векторы сторон:

• Вектор AB: \( \vec{AB} = (0-0; 3-0) = (0; 3) \).
• Вектор BC: \( \vec{BC} = (7-0; 3-3) = (7; 0) \).
• Вектор AC: \( \vec{AC} = (7-0; 3-0) = (7; 3) \).

В прямоугольнике AB параллелен CD, и BC параллелен AD.

Найдем координаты точки D, исходя из равенства векторов:

1. \( \vec{AD} = \vec{BC} \)

Пусть координаты точки D равны \( (x; y) \).

\( \vec{AD} = (x-0; y-0) = (x; y) \)

\( \vec{BC} = (7; 0) \)

Приравнивая векторы, получаем: \( x = 7 \) и \( y = 0 \). Таким образом, D(7; 0).

Проверим также по другому вектору:

2. \( \vec{CD} = \vec{BA} \)

\( \vec{CD} = (x-7; y-3) \)

\( \vec{BA} = (0-0; 0-3) = (0; -3) \)

Приравнивая векторы, получаем: \( x-7 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 7 \) и \( y-3 = -3 \) \(\Rightarrow\) \( y = 0 \). Таким образом, D(7; 0).

Также можно использовать свойство середины диагонали. Середина диагонали AC должна совпадать с серединой диагонали BD.

Середина AC: \( M_{AC} = \left( \frac{0+7}{2}; \frac{0+3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}; \frac{3}{2} \right) \)

Середина BD: \( M_{BD} = \left( \frac{0+x}{2}; \frac{3+y}{2} \right) \)

Приравнивая координаты середин:

\( \frac{7}{2} = \frac{0+x}{2} \) \(\Rightarrow\) \( 7 = x \)

\( \frac{3}{2} = \frac{3+y}{2} \) \(\Rightarrow\) \( 3 = 3+y \) \(\Rightarrow\) \( y = 0 \)

Координаты точки D равны (7; 0).

Ответ: D(7; 0).