Известно, что в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол при вершине в четыре раза меньше угла при основании. Найди градусную меру внешнего угла треугольника при вершине А.

Решение задачи:

Давай разберемся с этой задачей по шагам. Нам дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Это значит, что углы при основании равны: ∠A = ∠C.

По условию, угол при вершине B в четыре раза меньше угла при основании. Обозначим угол при основании как 'α'. Тогда углы при основании будут ∠A = ∠C = α. Угол при вершине B будет β = α / 4.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Значит, для нашего треугольника:

• ∠A + ∠B + ∠C = 180°
• α + α / 4 + α = 180°

Теперь решим это уравнение:

• Приведем к общему знаменателю:
•      α +      α / 4 + α = 180°
•      4α / 4 + α / 4 + 4α / 4 = 180°
•      (4α + α + 4α) / 4 = 180°
•      9α / 4 = 180°

Найдем α:

•      9α = 180° * 4
•      9α = 720°
•      α = 720° / 9
•      α = 80°

Итак, углы при основании равны 80° (∠A = ∠C = 80°). Угол при вершине B равен 80° / 4 = 20°.

Проверка: 80° + 80° + 20° = 180°. Все верно!

Теперь нам нужно найти внешний угол треугольника при вершине A. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. Или, проще, внешний угол и внутренний смежный угол в сумме дают 180°.

• Внешний угол при вершине A = 180° - ∠A
• Внешний угол при вершине A = 180° - 80°
• Внешний угол при вершине A = 100°

Ответ: 100