Известно, что в треугольнике ABC ∠C=90°, ∠MBA = 120°, AB + BC = 27. Найдите BC.

Ответ: 9

Пошаговое решение:

1. Продлим CB за точку B до точки D так, что BD = BA.
2. Соединим точки A и D.
3. Тогда треугольник ABD – равнобедренный, так как BA = BD.
4. ∠ABD – смежный с ∠MBA, поэтому ∠ABD = 180° - ∠MBA = 180° - 120° = 60°.
5. Так как треугольник ABD равнобедренный и ∠ABD = 60°, то этот треугольник равносторонний.
6. Следовательно, AD = AB = BD.
7. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:
   • BC = CD (так как BD = BA и BA = AB + BC)
   • ∠ACB = ∠ACD = 90°
   • AC – общая сторона
8. Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).
9. Из равенства треугольников следует, что AC = BC.
10. Тогда AB + BC = AD + BC = 27.
11. Пусть BC = x, тогда AD = 2x.
12. Получаем уравнение: 2x + x = 27.
13. Решаем уравнение: 3x = 27 => x = 9.
14. Следовательно, BC = 9.

Ответ: 9