Известно, что в треугольнике ABC cos ∠BAC = √11/6, точки Т и Е лежат на стороне АС так, что АТ = 36, AE = 44. Найдите радиус окружности, которая проходит через точки Т и Е и касается луча АВ.

Пусть окружность проходит через точки T и E и касается прямой AB в точке P. Обозначим радиус окружности за R. Пусть O - центр окружности.

По теореме о касательной и секущей, $$AP^2 = AT \cdot AE$$.

Подставим известные значения: $$AP^2 = 36 \cdot 44 = 1584$$

Тогда $$AP = \sqrt{1584} = 12\sqrt{11}$$.

Пусть ∠BAP = α. Тогда cos α = √11/6.

Рассмотрим треугольник APO. AO = R, ∠APO = 90°, следовательно, AO = AP / sin α.

Найдем sin α. Из основного тригонометрического тождества: $$sin^2 α + cos^2 α = 1$$

$$sin^2 α = 1 - cos^2 α = 1 - (\frac{\sqrt{11}}{6})^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$$

Тогда $$sin α = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$$.

Теперь найдем радиус R: $$R = \frac{AP}{sin α} = \frac{12\sqrt{11}}{\frac{5}{6}} = \frac{12\sqrt{11} \cdot 6}{5} = \frac{72\sqrt{11}}{5} = 14.4\sqrt{11}$$.

Радиус окружности равен $$\frac{72\sqrt{11}}{5}$$.

Округлим до целого числа или десятичной дроби. $$\frac{72\sqrt{11}}{5} ≈ \frac{72 \cdot 3.3166}{5} ≈ \frac{238.8}{5} ≈ 47.76$$

Ответ: 47.76