Известно, что в треугольнике ABC сторона AB = 14, AC = 8. Найдите отношение, в котором биссектриса угла A делит медиану, проведённую из вершины B. В ответе укажите отношение большего отрезка к меньшему.

Пусть в треугольнике (ABC) (AB = 14), (AC = 8). Пусть (BD) - медиана, проведённая из вершины (B), а (AL) - биссектриса угла (A), причём (L) лежит на медиане (BD).

Пусть (M) - середина стороны (AC), тогда (AM = MC = rac{AC}{2} = rac{8}{2} = 4).

По теореме Менелая для треугольника (BDC) и прямой (AL) имеем:

$$ \frac{BL}{LD} \cdot \frac{DA}{AC} \cdot \frac{CM}{MB} = 1 $$

Выразим отношение (rac{DA}{AC}) через стороны треугольника (ABC) по свойству биссектрисы. Биссектриса (AD) делит сторону (BC) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} $$

Тогда (rac{DA}{BC} = \frac{7}{7+4} = \frac{7}{11}), а (rac{DC}{BC} = \frac{4}{11}).

Поскольку (BC = BD + DC), (BD = BC - DC), (rac{BD}{DC} = \frac{7}{4}), то (BD = \frac{7}{4} DC).

Подставим в теорему Менелая: (rac{BL}{LD} \cdot \frac{CD}{DA} \cdot \frac{AM}{MB} = 1)

(CD = \frac{4}{11} BC), следовательно, (rac{DA}{CD} = \frac{7/11}{4/11} = \frac{7}{4}).

Чтобы найти отношение (rac{CM}{MB}), рассмотрим треугольник (ABC), в котором (AM=MC=4), (MB) - медиана. Выразим (MB) через другие стороны, используя теорему медиан:

$$ AB^2 + BC^2 = 2(AM^2 + MB^2) $$ $$ 14^2 + BC^2 = 2(4^2 + MB^2) $$ $$ 196 + BC^2 = 32 + 2MB^2 $$

Это уравнение не позволяет нам найти точное значение (MB), поэтому я допустил ошибку в решении. Вернёмся к свойству биссектрисы и медианы.

Пусть (BD) - медиана, тогда (AD = DC). Пусть биссектриса (AL) пересекает (BD) в точке (L). По теореме о биссектрисе треугольника (ABL):

$$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$$

Тогда отношение большего отрезка к меньшему равно (rac{7}{4} = 1.75).

Ответ: 1.75