Известно, что в треугольнике АВС ∠C=90°, ∠MBA=120°, AB+BC = 27. 13. Найдите ВС.

Ответ: 9

Разбираемся:

1. Шаг 1: Анализ углов

2. Рассмотрим треугольник АВС, где ∠C = 90°. Угол ∠MBA = 120° — внешний угол треугольника АВС, смежный с углом ∠B. Следовательно, можем найти угол ∠ABC:

   \[∠ABC = 180° - ∠MBA = 180° - 120° = 60°\]
3. Шаг 2: Находим угол ∠A

4. В прямоугольном треугольнике АВС сумма острых углов равна 90°, поэтому:

   \[∠A = 90° - ∠ABC = 90° - 60° = 30°\]
5. Шаг 3: Соотношение сторон в прямоугольном треугольнике

6. В прямоугольном треугольнике, катет лежащий напротив угла в 30° равен половине гипотенузы. В нашем случае, катет ВС лежит напротив угла ∠A = 30°, следовательно:

   \[BC = \frac{1}{2}AB\]
7. Шаг 4: Составление системы уравнений

8. Нам дано, что AB + BC = 27. Подставим BC = \frac{1}{2}AB в это уравнение:

   \[AB + \frac{1}{2}AB = 27\] \[\frac{3}{2}AB = 27\] \[AB = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18\]
9. Шаг 5: Находим ВС

10. Теперь, когда мы знаем AB, можем найти ВС:

    \[BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9\]

Ответ: 9