Известно, что вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные величины которых относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший угол треугольника.

Пусть градусные меры дуг равны $$2x$$, $$3x$$ и $$4x$$. Сумма градусных мер дуг, на которые окружность делится вершинами треугольника, равна 360 градусам. Следовательно:

$$2x + 3x + 4x = 360$$

Решим это уравнение:

$$9x = 360$$ $$x = rac{360}{9}$$ $$x = 40$$

Теперь найдем градусные меры каждой дуги:

• Дуга 1: $$2x = 2 cdot 40 = 80^circ$$
• Дуга 2: $$3x = 3 cdot 40 = 120^circ$$
• Дуга 3: $$4x = 4 cdot 40 = 160^circ$$

Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, углы треугольника равны:

• Угол 1: $$\frac{120}{2} = 60^circ$$
• Угол 2: $$\frac{160}{2} = 80^circ$$
• Угол 3: $$\frac{80}{2} = 40^circ$$

Наименьший угол треугольника равен 40 градусам.

Ответ: 40