Известны скалярные произведения векторов, соответствующих сторонам треугольника ABC: • AB · AC = 0, • BA · BC = 36, • CB · CA = 64. Определите тип этого треугольника: треугольник ABC - ?

Предмет: Математика

Класс: Геометрия

Решение:

Давай разберем по порядку.

1. Вспомним определение скалярного произведения векторов:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha),\]

где \[\alpha\] - угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

2. Анализ условия:

Нам даны следующие скалярные произведения:

• \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0\]
• \[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 36\]
• \[\vec{CB} \cdot \vec{CA} = 64\]

3. Первое уравнение:

\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle BAC) = 0\]

Так как длины векторов не могут быть равны нулю, то \[\cos(\angle BAC) = 0\]. Это означает, что \[\angle BAC = 90^\circ\].

Следовательно, треугольник ABC - прямоугольный.

4. Вывод:

Треугольник ABC является прямоугольным, так как угол BAC равен 90 градусов.

Ответ: прямоугольный