К-3 1°. Треугольники АВС и РМК рав- ны. Известно, что АВ = 5 см, ВС= = 10 см, ∠C = 36°. Найдите соответствую- щие стороны и угол треугольника РМК. 2°. Отрезки АМ И КР пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что РМ - КА (рис. 38). 3. Точки М и К являются соответ- ственно серединами боковых сторон АС и ВС равнобедренного треугольника АВС (АВ - основание). Докажите, что АК = = BM.

Разберем задачи по геометрии.

<h3>Задача 1</h3>

Треугольники ABC и PMK равны, следовательно, их соответствующие стороны и углы равны. Дано: AB = 5 см, BC = 10 см, ∠C = 36°.

Найдем соответствующие стороны и угол треугольника PMK.

1. Сторона PM соответствует стороне AB, следовательно, PM = AB = 5 см.
2. Сторона MK соответствует стороне BC, следовательно, MK = BC = 10 см.
3. Угол K соответствует углу C, следовательно, ∠K = ∠C = 36°.

Ответ: PM = 5 см, MK = 10 см, ∠K = 36°.

<h3>Задача 2</h3>

Дано: Отрезки AM и KP пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Доказать: PM = KA.

Доказательство:

1. Так как O - середина AM, то AO = OM.
2. Так как O - середина KP, то KO = OP.
3. Рассмотрим треугольники AOK и MOP. У них AO = OM, KO = OP, и углы AOK и MOP равны как вертикальные углы.
4. Следовательно, треугольники AOK и MOP равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что AK = PM как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: PM = KA (доказано).

<h3>Задача 3</h3>

Дано: Точки M и K являются соответственно серединами боковых сторон AC и BC равнобедренного треугольника ABC (AB - основание). Доказать: AK = BM.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AB, то AC = BC.
2. Так как M и K - середины AC и BC соответственно, то AM = MC = BC/2 и BK = KC = AC/2. Следовательно, AM = MC = BK = KC.
3. Рассмотрим треугольники ABM и BAK. У них AB - общая сторона, AM = BK и углы BAM и ABK равны как углы при основании равнобедренного треугольника.
4. Следовательно, треугольники ABM и BAK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует, что AK = BM как соответствующие стороны равных треугольников.

Ответ: AK = BM (доказано).