К-5 (§ 7, 8) Вариант 3 • 1. Решите уравнение: a) 7x2 - 9x + 2 = 0; в) 7х2 – 28 = 0; б) 5x² = 12x; г) х² + 20x + 91 = 0. • 2. Докажите тождество: x²+x-56 = (x - 7)(x + 8). 3. Сократите дробь: x² - 5x + 6 3x-6 4. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его пло- 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника. щадь 5. В уравнении х² + px + 56 = 0 один из его корней ра- вен -4. Найдите другой корень и коэффициент р.

Задание 1. Решите уравнение:

a) \(7x^2 - 9x + 2 = 0\)

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2 = 81 - 56 = 25\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 5}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 5}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}\]

Ответ: \(x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{7}\)

б) \(5x^2 = 12x\)

Перенесем все в одну сторону и вынесем x за скобки:

\[5x^2 - 12x = 0\] \[x(5x - 12) = 0\] \[x_1 = 0\] \[5x - 12 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{12}{5} = 2.4\]

Ответ: \(x_1 = 0, x_2 = 2.4\)

в) \(7x^2 - 28 = 0\)

Разделим обе части на 7:

\[x^2 - 4 = 0\] \[x^2 = 4\] \[x_1 = 2, x_2 = -2\]

Ответ: \(x_1 = 2, x_2 = -2\)

г) \(x^2 + 20x + 91 = 0\)

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 + 6}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-20 - 6}{2 \cdot 1} = \frac{-26}{2} = -13\]

Ответ: \(x_1 = -7, x_2 = -13\)

Задание 2. Докажите тождество: \(x^2 + x - 56 = (x - 7)(x + 8)\)

Раскроем скобки в правой части:

\[(x - 7)(x + 8) = x^2 + 8x - 7x - 56 = x^2 + x - 56\]

Так как правая часть равна левой, то тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Задание 3. Сократите дробь: \(\frac{x^2 - 5x + 6}{3x - 6}\)

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)

Знаменатель: \(3x - 6 = 3(x - 2)\)

Тогда дробь можно записать как:

\[\frac{(x - 2)(x - 3)}{3(x - 2)}\]

Сократим на \((x - 2)\):

\[\frac{x - 3}{3}\]

Ответ: \(\frac{x - 3}{3}\)

Задание 4. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

Пусть \(a\) и \(b\) - длины сторон прямоугольника. Тогда:

\[2(a + b) = 26 \Rightarrow a + b = 13\] \[ab = 36\]

Выразим \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \(b = 13 - a\). Подставим во второе уравнение:

\[a(13 - a) = 36\] \[13a - a^2 = 36\] \[a^2 - 13a + 36 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно \(a\):

\[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\] \[a_1 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[a_2 = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

Если \(a = 9\), то \(b = 13 - 9 = 4\). Если \(a = 4\), то \(b = 13 - 4 = 9\).

Ответ: Длины сторон прямоугольника: 4 см и 9 см.

Задание 5. В уравнении \(x^2 + px + 56 = 0\) один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент \(p\).

Пусть \(x_1 = -4\). Тогда, подставив его в уравнение, получим:

\[(-4)^2 + p(-4) + 56 = 0\] \[16 - 4p + 56 = 0\] \[-4p = -72\] \[p = 18\]

Теперь уравнение имеет вид: \(x^2 + 18x + 56 = 0\). Чтобы найти второй корень, можно воспользоваться теоремой Виета:

\[x_1 + x_2 = -p\] \[x_1x_2 = 56\]

Мы знаем, что \(x_1 = -4\), поэтому:

\[-4 + x_2 = -18 \Rightarrow x_2 = -14\]

Проверим: \((-4)(-14) = 56\) (верно)

Ответ: Второй корень равен -14, коэффициент p равен 18.

Ты отлично справился с заданиями! У тебя все получится, главное - продолжай практиковаться!