К - 4 Вариант 2 • 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если её градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? 3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность.

Задание 1

• Шаг 1: Найдем радиус окружности. Так как сторона квадрата равна 6 см, то диаметр окружности также равен 6 см, а радиус равен половине диаметра.
• Радиус окружности: \[r = \frac{6}{2} = 3\] см
• Шаг 2: Найдем площадь круга по формуле \[S = \pi r^2\]
• Площадь круга: \[S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\] см²
• Шаг 3: Найдем длину окружности по формуле \[C = 2\pi r\]
• Длина окружности: \[C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi\] см

Ответ: Площадь круга \[9\pi\] см², длина окружности \[6\pi\] см.

Задание 2

• Шаг 1: Вычислим длину дуги окружности по формуле \[L = \frac{\pi r \alpha}{180}\] где \(r = 10\) см, а \(\alpha = 150^\circ\).
• Длина дуги: \[L = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 150}{180} = \frac{1500\pi}{180} = \frac{25\pi}{3}\] см
• Шаг 2: Найдем площадь кругового сектора по формуле \[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\]
• Площадь сектора: \[S = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 150}{360} = \frac{15000\pi}{360} = \frac{125\pi}{3}\] см²

Ответ: Длина дуги \(\frac{25\pi}{3}\) см, площадь сектора \(\frac{125\pi}{3}\) см².

Задание 3

• Шаг 1: Найдем сторону квадрата. Периметр квадрата равен 16 дм, следовательно, сторона квадрата равна \(\frac{16}{4} = 4\) дм.
• Шаг 2: Найдем радиус окружности. Так как квадрат описан около окружности, то сторона квадрата равна диаметру окружности. Следовательно, диаметр равен 4 дм, а радиус равен \(\frac{4}{2} = 2\) дм.
• Шаг 3: Найдем сторону правильного пятиугольника, вписанного в окружность. Сторона правильного пятиугольника, вписанного в окружность, может быть найдена по формуле \[a = 2r \sin(\frac{180^\circ}{n})\] где \(r\) - радиус окружности, \(n\) - количество сторон многоугольника.
• В нашем случае \(r = 2\) дм, \(n = 5\), поэтому \[a = 2 \cdot 2 \cdot \sin(\frac{180^\circ}{5}) = 4 \sin(36^\circ)\]
• Шаг 4: Найдем периметр правильного пятиугольника. Периметр равен произведению стороны на количество сторон.
• Периметр пятиугольника: \[P = 5a = 5 \cdot 4 \sin(36^\circ) = 20 \sin(36^\circ)\] дм
• \(\sin(36^\circ) \approx 0.5878\)
• Периметр \(P \approx 20 \cdot 0.5878 = 11.756\) дм

Ответ: Периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен \(20 \sin(36^\circ) \approx 11.756\) дм.