К-1 Уровень 2 Вариант 1. 11. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 12. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5. 13. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. 14. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см. 15. * В параллелограмме ABCD биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На сторонах параллелограмма AB и CD взяты точки K и P так, что A – B – K, D – C – P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂, M₁M₂ = 8 см. Найдите AD.

11. Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая — x + 5 см. Из периметра: 2(x + x + 5) = 50, откуда x = 10. Большая сторона равна 15 см.

Ответ: 10 см и 15 см.

12. Угол прямоугольника равен 90°. Диагональ делит его на углы в отношении 4 : 5, то есть 40° и 50°. Диагонали симметричны относительно сторон прямоугольника; меньший угол между ними равен разности этих углов: 50° − 40° = 10°? Проверка по наклонам: диагонали направлены под углами 40° и 140° к одной стороне, поэтому меньший угол между ними равен 100°? Из этих направлений меньший угол равен 100°, а дополнительный — 80°. Следовательно, меньший угол между диагоналями равен 80°.

Ответ: 80°.

13. Диагональ равна одной из сторон и перпендикулярна ей. Треугольник, образованный этой диагональю и двумя сторонами параллелограмма, прямоугольный; его катеты равны, значит он равнобедренный прямоугольный. Угол параллелограмма равен 45°, а соседний угол — 180° − 45° = 135°.

Ответ: 45° и 135°.

14. Данные противоречивы: если BD ⟂ AB, то ∠ABD = 90°. Поскольку AB и BD — стороны треугольника ABD, сумма его углов не может включать также ∠ADB = 30° и ∠BDC = 30° как углы этого же треугольника. Кроме того, при стандартной разметке трапеции AB и CD — параллельные основания, поэтому BD ⟂ AB влечёт BD ⟂ CD и ∠BDC = 90°, а не 30°. Уточните условие или обозначения сторон; длину AD по противоречивым данным определить нельзя.

15. В параллелограмме AB ∥ CD, а BC — секущая. Углы ABC и BCD являются внутренними односторонними, поэтому их сумма равна 180°. Биссектрисы дополнительных углов параллельны, следовательно, они не пересекаются в конечной точке M₁. Условие о точке M₁ противоречит свойствам параллелограмма; найти AD невозможно без исправленного условия.