К-1 Уровень 2 Вариант 1 (задания). 1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5. 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см. 5. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A — B — K, D — C — P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂, M₁M₂ = 8 см. Найдите AD.

Question

Вопрос:

Фото задания

К-1 Уровень 2 Вариант 1 (задания). 1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 2. Найдите угол между диагоналями прямоугольника, если каждая из них делит угол прямоугольника в отношении 4 : 5. 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна одной из его сторон. 4. В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB, ∠ADB = ∠BDC = 30°. Найдите длину AD, если периметр трапеции 60 см. 5. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A — B — K, D — C — P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂, M₁M₂ = 8 см. Найдите AD.

Accepted Answer

Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая — x + 5 см.
Периметр: 2(x + x + 5) = 50, откуда 2x + 5 = 25, x = 10.
Большая сторона: 10 + 5 = 15 см.
Ответ: 10 см и 15 см.
Угол прямоугольника равен 90°. Его диагональ делит этот угол в отношении 4 : 5, поэтому части равны 90° · 4/9 = 40° и 90° · 5/9 = 50°.
Диагонали симметричны относительно сторон прямоугольника: острый угол между ними равен удвоенной разности полученных углов, то есть 2(50° − 40°) = 20°.
Ответ: 20°.
Условие не определяет углы однозначно: не указано, какая именно сторона равна диагонали и к какой стороне диагональ перпендикулярна. Более того, если диагональ равна стороне, к которой она перпендикулярна, параллелограмм вырождается. Если же диагональ равна другой стороне, возможны разные углы параллелограмма. Нужна уточнённая формулировка.
Пусть AB ∥ CD — основания трапеции. Так как BD ⟂ AB, то BD ⟂ CD, а значит, ∠BDC должен быть 90°, а не 30°. Условия о перпендикулярности и угле ∠BDC противоречат друг другу, поэтому найти AD по такому условию нельзя. Проверьте, пожалуйста, обозначение угла или перпендикулярности.
В параллелограмме расстояние между пересечениями биссектрис смежных углов A, D и внешних биссектрис углов B, C равно |AB − AD|. Поэтому из M₁M₂ = 8 см следует только |AB − AD| = 8 см. Значение AD определить нельзя без длины AB или дополнительного условия.

Ответ: