К-1 Уровень 2 Вариант 2 (задания). 1. Периметр параллелограмма 60 см. Одна из его сторон на 6 см меньше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 2. Угол между диагоналями прямоугольника равен 80°. Найдите угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника. 3. Найдите углы параллелограмма, если одна из его диагоналей является высотой и равна половине неперпендикулярной к ней стороны параллелограмма. 4. В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла A. Найдите длину AB, если периметр трапеции равен 35 см, ∠D = 60°. 5. В параллелограмме ABCD AD = 6 см. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке M₁. На прямых AB и CD взяты точки K и P так, что A — B — K, D — C — P. Биссектрисы углов KBC и BCP пересекаются в точке M₂. Найдите M₁M₂.

Пусть меньшая сторона равна x см, большая — x + 6 см. Тогда 2(x + x + 6) = 60, откуда 2x + 6 = 30 и x = 12.

Большая сторона равна 12 + 6 = 18 см.

Ответ: 12 см и 18 см.

Смежные углы между диагоналями равны 80° и 100°. Диагонали прямоугольника симметричны относительно его длинной стороны, поэтому острый угол между диагональю и длинной стороной равен 80° : 2 = 40°.

Меньшая сторона перпендикулярна длинной, поэтому угол между диагональю и меньшей стороной равен 90° − 40° = 50°.

Ответ: 50°.

Пусть диагональ-высота перпендикулярна стороне длины a, а неперпендикулярная ей сторона имеет длину b. По условию диагональ равна b/2. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами и диагональю, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно 1/2. Значит, угол между сторонами равен 30° или 150°.

Ответ: углы параллелограмма равны 30° и 150°.

При стандартном обозначении трапеции AB ∥ CD сторона CD параллельна AB. Если AC ⟂ CD, то AC ⟂ AB; треугольник ABC прямоугольный при A. Поскольку AC — биссектриса угла A, она делит угол A на две части по 45°. Это противоречит прямому углу A, который должен быть равен 90°: биссектриса прямого угла образует с его сторонами углы по 45°, но AC не может одновременно быть одной из сторон угла A и перпендикулярной ей. Следовательно, в условии есть ошибка или нестандартное обозначение оснований; найти AB без уточнения нельзя.

Для точек пересечения биссектрис смежных углов параллелограмма и внешних биссектрис соседней пары расстояние равно модулю разности длин смежных сторон: M₁M₂ = |AB − AD|. Из AD = 6 см получаем M₁M₂ = |AB − 6|. Длина AB не задана, поэтому численный ответ определить нельзя.