К—1, В—2. 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

В ромбе противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°. Поэтому ∠K = ∠N = 80°, а ∠M = 100°. Диагональ KN биссектрисой делит угол K пополам, следовательно, ∠MKO = 40°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠KOM = 90°. Тогда ∠KMO = 180° − 40° − 90° = 50°.

Ответ: ∠MKO = 40°, ∠KMO = 50°, ∠KOM = 90°.

а) Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный с основанием AM, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Лучи MB и MC противоположны, значит, ∠AMB + ∠AMC = 180°. В параллелограмме AD ∥ BC, поэтому ∠DAM = ∠AMC. Углы ∠BAM и ∠DAM в сумме равны 180° и равны друг другу, следовательно, каждый равен 90°; таким образом, AM является биссектрисой угла BAD.

б) Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AB = CD = 8 см. По условию BM = AB = 8 см, а BC = BM + CM = 8 + 4 = 12 см. Тогда периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: периметр параллелограмма равен 40 см.