К-5 Вариант 3 1°. Точки А(-2; 4), В(-6; 12) и С(2; 8) являются вершинами параллелограмма ABCD. Найдите: а) координаты точки пересечения диагоналей; б) длины сторон параллелограмма; в) координаты его четвертой вершины. 2. Запишите уравнения прямых, на которых лежат диагонали параллелограмма ABCD из задания 1.

Решение:

1. Нахождение координат и длин:

1. а) Координаты точки пересечения диагоналей:

   Точка пересечения диагоналей параллелограмма является серединой каждой диагонали. Найдем середину диагонали AC:

   \[ x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = \frac{0}{2} = 0 \]

   \[ y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

   Таким образом, точка пересечения диагоналей M имеет координаты (0; 6).

2. б) Длины сторон параллелограмма:

   Найдем длины сторон AB и BC, используя формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

   Длина стороны AB:

   \[ AB = \sqrt{(-6 - (-2))^2 + (12 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \times 5} = 4\sqrt{5} \]

   Длина стороны BC:

   \[ BC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (8 - 12)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

   Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD и BC = AD. Следовательно, длины сторон равны $$4\sqrt{5}$$.

3. в) Координаты четвертой вершины D:

   В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке M (0; 6). Точка M является серединой диагонали BD. Найдем координаты точки D, зная координаты B(-6; 12) и M(0; 6):

   \[ x_M = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{-6 + x_D}{2} \Rightarrow 0 = -6 + x_D \Rightarrow x_D = 6 \]

   \[ y_M = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 6 = \frac{12 + y_D}{2} \Rightarrow 12 = 12 + y_D \Rightarrow y_D = 0 \]

   Координаты четвертой вершины D: (6; 0).

2. Уравнения прямых, на которых лежат диагонали:

а) Диагональ AC:

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки (A(-2; 4) и C(2; 8)):

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

\[ \frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - 4}{8 - 4} \]

\[ \frac{x + 2}{4} = \frac{y - 4}{4} \]

\[ x + 2 = y - 4 \]

\[ y = x + 6 \]

Уравнение прямой AC: $$y = x + 6$$.

б) Диагональ BD:

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки (B(-6; 12) и D(6; 0)):

\[ \frac{x - (-6)}{6 - (-6)} = \frac{y - 12}{0 - 12} \]

\[ \frac{x + 6}{12} = \frac{y - 12}{-12} \]

\[ -(x + 6) = y - 12 \]

\[ -x - 6 = y - 12 \]

\[ y = -x + 6 \]

Уравнение прямой BD: $$y = -x + 6$$.