К-5 Вариант 4 1°. Прямая а пересекает окружность в точках А(-7; 7) и В(-1; -1) и проходит через ее центр. Найдите: а) координаты центра окружности; б) длину радиуса окружности; в) запишите уравнения окружности и прямой а. 2. Отрезок АВ является диагональю прямоугольника ACBD, где С(1; 2), А(-7; 7) и В(-1; -1). Найдите координаты вершины D и периметр прямоугольника ACBD.

Question

Вопрос:

К-5 Вариант 4 1°. Прямая а пересекает окружность в точках А(-7; 7) и В(-1; -1) и проходит через ее центр. Найдите: а) координаты центра окружности; б) длину радиуса окружности; в) запишите уравнения окружности и прямой а. 2. Отрезок АВ является диагональю прямоугольника ACBD, где С(1; 2), А(-7; 7) и В(-1; -1). Найдите координаты вершины D и периметр прямоугольника ACBD.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

1. Прямая и окружность:

а) Координаты центра окружности:
Так как прямая, пересекающая окружность в точках A(-7; 7) и B(-1; -1), проходит через ее центр, то центр окружности является серединой отрезка AB. Найдем координаты центра O:
\[ x_O = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-7 + (-1)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
\[ y_O = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
Координаты центра окружности: (-4; 3).
б) Длина радиуса окружности:
Радиус окружности равен расстоянию от центра O(-4; 3) до любой из точек пересечения, например, до точки A(-7; 7). Используем формулу расстояния:
\[ R = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(-7 - (-4))^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Длина радиуса окружности: 5.
в) Уравнения окружности и прямой а:
Уравнение окружности с центром в точке (h; k) и радиусом R имеет вид: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = R^2 \]
Подставляем координаты центра O(-4; 3) и радиус R=5:
\[ (x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 5^2 \]
\[ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25 \]
Уравнение окружности: $$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$$.
Уравнение прямой а, проходящей через точки A(-7; 7) и B(-1; -1):
\[ \frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A} \]
\[ \frac{x - (-7)}{-1 - (-7)} = \frac{y - 7}{-1 - 7} \]
\[ \frac{x + 7}{6} = \frac{y - 7}{-8} \]
\[ -8(x + 7) = 6(y - 7) \]
\[ -8x - 56 = 6y - 42 \]
\[ 6y = -8x - 56 + 42 \]
\[ 6y = -8x - 14 \]
\[ y = \frac{-8}{6}x - \frac{14}{6} \]
\[ y = -\frac{4}{3}x - \frac{7}{3} \]
Уравнение прямой а: $$y = -\frac{4}{3}x - \frac{7}{3}$$.

2. Прямоугольник ACBD:

Отрезок AB является диагональю прямоугольника ACBD. Точки A(-7; 7), C(1; 2), B(-1; -1).

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Найдем середину диагонали AB:

\[ x_{mid} = \frac{-7 + (-1)}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

\[ y_{mid} = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

Таким образом, центр прямоугольника (точка пересечения диагоналей) имеет координаты (-4; 3).

Найдем координаты четвертой вершины D, зная, что центр является серединой диагонали CD:

\[ x_{mid} = \frac{x_C + x_D}{2} \Rightarrow -4 = \frac{1 + x_D}{2} \Rightarrow -8 = 1 + x_D \Rightarrow x_D = -9 \]

\[ y_{mid} = \frac{y_C + y_D}{2} \Rightarrow 3 = \frac{2 + y_D}{2} \Rightarrow 6 = 2 + y_D \Rightarrow y_D = 4 \]

Координаты вершины D: (-9; 4).

Теперь найдем длины сторон прямоугольника AC и CB:

Длина стороны AC:

\[ AC = \sqrt{(1 - (-7))^2 + (2 - 7)^2} = \sqrt{8^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \]

Длина стороны CB:

\[ CB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \]

Периметр прямоугольника ACBD равен $$2 \times (AC + CB)$$:

\[ P = 2 \times (\sqrt{89} + \sqrt{13}) \]

Периметр прямоугольника: $$2(\sqrt{89} + \sqrt{13})$$.