К-6 У-1 Вариант 1 (задания) 1. Дано: ВО = DO, ∠ABC = 45°, <BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ДАВО = ACDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угла треугольника АВС. 3. Точки В и Д лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC - равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠ЕРМ = 90°, <MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD. К-6 У-1 Вариант 2 (задания) 1. Дано: АВ = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Найти: ∠C.

Решение:

Вариант 1

1. Задание 1:
   Доказательство:
   Так как \( \angle AOC = 100^{\circ} \) и \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \) — смежные углы, то \( \angle BOC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ} \).
   В \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \):
   1. \( BO = DO \) (по условию).
   2. \( \angle BOC = \angle DOA \) (вертикальные углы), \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные углы).
   3. \( \angle ABC = 45^{\circ} \), \( \angle BCD = 55^{\circ} \).
   В \( \triangle ABC \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \), значит \( \angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ} \).
   Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ} \).
   \( \angle D \) в \( \triangle CDO \) можно найти, если известны другие углы или стороны.
   Найти: \( \angle D \)
   Из \( \triangle BOC \) имеем \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BCA = 180^{\circ} - 45^{\circ} - \angle BCA \).
   Из \( \triangle AOC \) мы не можем найти \( \angle D \).
   Доказательство: \( \triangle ABO = \triangle CDO \)
   1. \( BO = DO \) (по условию).
   2. \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные углы).
   3. \( \angle BAC = \angle BCA = 69^{\circ} \) (из \( \triangle ABC \)).
   \( \angle ABC = 45^{\circ} \), \( \angle BCD = 55^{\circ} \), \( \angle AOC = 100^{\circ} \).
   В \( \triangle ABO \) и \( \triangle CDO \):
   \( BO = DO \)
   \( \angle AOB = \angle COD \)
   Нам не хватает данных для доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС) или по двум углам и стороне между ними (УСУ).
   Возможно, в условии есть опечатка или не хватает данных.
   
   Задание 2:
   В равнобедренном \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \) угол \( \angle B = 42^{\circ} \).
   Сумма углов в \( \triangle ABC \) равна \( 180^{\circ} \).
   \( \angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180^{\circ} \)
   Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \), то \( \angle BAC = \angle BCA \).
   \( 2 \angle BAC + 42^{\circ} = 180^{\circ} \)
   \( 2 \angle BAC = 180^{\circ} - 42^{\circ} \)
   \( 2 \angle BAC = 138^{\circ} \)
   \( \angle BAC = \frac{138^{\circ}}{2} = 69^{\circ} \)
   \( \angle BCA = 69^{\circ} \)

   Ответ: \( \angle BAC = 69^{\circ} \), \( \angle BCA = 69^{\circ} \).

   Вариант 2

   1. Задание 1:
      Дано: \( AB = CD \), \( \angle ABC = 65^{\circ} \), \( \angle ADC = 45^{\circ} \), \( \angle AOC = 110^{\circ} \) (рис. 5.91).
      Найти: \( \angle C \)
      В \( \triangle AOC \), \( \angle AOC = 110^{\circ} \).
      \( \angle BAC + \angle ACO = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \)
      Из \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \)
      \( \angle BAC + 65^{\circ} + \angle BCA = 180^{\circ} \)
      \( \angle BAC + \angle BCA = 115^{\circ} \)
      Из \( \triangle ADC \): \( \angle DAC + \angle ADC + \angle ACD = 180^{\circ} \)
      \( \angle DAC + 45^{\circ} + \angle ACD = 180^{\circ} \)
      \( \angle DAC + \angle ACD = 135^{\circ} \)
      Мы ищем \( \angle C \), который состоит из \( \angle BCA \) и \( \angle ACD \).
      \( \angle BAC = \angle BAO + \angle DAC \) (если \( O \) лежит между \( AC \)) или \( \angle BAC = \angle DAC - \angle DAO \) и т.д.
      Из \( \angle AOC = 110^{\circ} \), \( \angle BOC = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \).
      В \( \triangle BOC \): \( \angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^{\circ} \)
      \( \angle OBC + \angle OCB + 70^{\circ} = 180^{\circ} \)
      \( \angle OBC + \angle OCB = 110^{\circ} \)
      \( \angle ABC = 65^{\circ} \) и \( \angle ADC = 45^{\circ} \).
      Недостаточно данных для решения.