К числу можно применить 3 операции: А: заменяет число на обратное. В: заменяет число на его квадрат. С: заменяет число на среднее арифметическое этого числа и 1,5. Запись «АВ 3» означает, что к числу 3 применили сначала операцию В, затем к получившемуся числу применили операцию А. a) Найдите ВСА 2. б) Найдите положительное число х, если СВА х = 7/8.

Решение:

Определим, как работают операции:

• Операция А: число \( x \) заменяется на \( \frac{1}{x} \).
• Операция В: число \( x \) заменяется на \( x^2 \).
• Операция С: число \( x \) заменяется на \( \frac{x + 1.5}{2} \).

а) Найдите ВСА 2.

1. Применим операцию В к числу 2: \( 2^2 = 4 \).
2. Применим операцию С к полученному результату (4): \( \frac{4 + 1.5}{2} = \frac{5.5}{2} = 2.75 \).
3. Применим операцию А к полученному результату (2.75): \( \frac{1}{2.75} = \frac{1}{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11} \).

Ответ: \( \frac{4}{11} \).

б) Найдите положительное число х, если СВА х = 7/8.

1. Запись СВА х означает:
• Сначала применим операцию С к \( x \): \( \frac{x + 1.5}{2} \).
• Затем применим операцию В к результату: \( (\frac{x + 1.5}{2})^2 \).
• Затем применим операцию А к результату: \( \frac{1}{(\frac{x + 1.5}{2})^2} \).
2. Приравняем полученное выражение к \( \frac{7}{8} \):

\[ \frac{1}{(\frac{x + 1.5}{2})^2} = \frac{7}{8} \]

3. Перевернём обе части уравнения:

\[ (\frac{x + 1.5}{2})^2 = \frac{8}{7} \]

4. Извлечём квадратный корень из обеих частей. Поскольку \( x \) — положительное число, значение \( \frac{x + 1.5}{2} \) также будет положительным:

\[ \frac{x + 1.5}{2} = \sqrt{\frac{8}{7}} \]

5. Выразим \( x \):

\[ x + 1.5 = 2 \sqrt{\frac{8}{7}} \]

\[ x = 2 \sqrt{\frac{8}{7}} - 1.5 \]

Ответ: \( x = 2 \sqrt{\frac{8}{7}} - 1.5 \).